path: root/mat/domace_naloge/5/dokument.tex

% !TeX encoding = UTF-8
% !TeX spellcheck = sl_SI
\documentclass[]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{etoolbox}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage[a4paper, total={7in, 10in}]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hologo}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tabularcalc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{float}
\usepackage{tasks}
\usepackage{filecontents}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{listings}
% \usepackage{multienum} % weird with labels
\usetikzlibrary{calc} %% not really needed............. idk.
%\usetikzlibrary{external}
% \usetkzobj{all} % tkz-euclide > 3.02 tega ne potrebuje več (:
%\tikzexternalize
\usepackage{xcolor}
\sisetup{output-decimal-marker = {,}, quotient-mode=fraction,per-mode=fraction} % per-mode=symbol
\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}
\newcommand{\functionSamples}{100} % fix to fancier value upon release, keep low during development
\newcommand{\razhroscevanje}{0}
\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
\definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82}
\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92}

\lstdefinestyle{mystyle}{
    backgroundcolor=\color{backcolour},   
    commentstyle=\color{codegreen},
    keywordstyle=\color{magenta},
    numberstyle=\tiny\color{codegray},
    stringstyle=\color{codepurple},
    basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
    breakatwhitespace=false,         
    breaklines=true,                 
    captionpos=b,                    
    keepspaces=true,                 
    numbers=left,                    
    numbersep=5pt,                  
    showspaces=false,                
    showstringspaces=false,
    showtabs=false,                  
    tabsize=2
}

\lstset{style=mystyle}
\def\@maketitle{%
	\newpage
	\null
	\vskip 2em%
	\begin{center}%
		\let \footnote \thanks
		{\LARGE \@title \par}%
		\vskip 1.5em%
		{\large
			\lineskip .5em%
			\begin{tabular}[t]{c}% <------
				\@author%            <------ Authors
			\end{tabular}\par}%    <------
		\vskip 1em%
		{\large \@date}%
	\end{center}%
	\par
	\vskip 1.5em}
%opening
\newcommand{\stevilkadn}{5}
\newcommand{\snovdn}{Merjenje, trikotniška neenakost }
\makeatletter
\newcommand{\xslalph}[1]{\expandafter\@xslalph\csname c@#1\endcsname}
\newcommand{\@xslalph}[1]{%
	\ifcase#1\or a\or b\or c\or \v{c}\or d\or e\or f\or g\or h\or i%
	\or j\or k\or l\or m\or n\or o\or p\or r\or s\or \v{s}%
	\or t\or u\or v\or z\or \v{z}
	\else\@ctrerr\fi%
}
\AddEnumerateCounter{\xslalph}{\@xslalph}{m}
\makeatother
\newcommand\gauss[2]{1/(#2*sqrt(2*pi))*exp(-((x-#1)^2)/(2*#2^2))} % Gauss function, parameters mu and sigma
\newcommand*\textfrac[2]{
	\frac{\text{#1}}{\text{#2}}
}
\renewcommand\abstractname{Povzetek}
\date{16. september 2020}
\renewcommand\contentsname{Kazalo vsebine}
\renewcommand\figurename{Slika}
\renewcommand\abstractname{Povzetek}
\newcommand{\iic}{I\textsuperscript{2}C }
% \patchcmd{\thebibliography}{\section*{\refname}}{}{}{}
\title{%
	\snovdn --- \stevilkadn. domača naloga \\
	\large Matematika, Gimnazija Bežigrad}
\author{\begin{tabular}{rl}
		\textbf{Profesor:} & prof. Vilko Domajnko \\
		\textbf{Avtor:} & Anton Luka Šijanec, 2. a
%		\textbf{Avtor:} & Anton Luka Šijanec \\ & Member 2 \\ & Member 3
\end{tabular}}


% \everymath{\displaystyle} % https://tex.stackexchange.com/a/32847/212260
\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
	Ta dokument obsega naloge, naročene dijakom 15. septembra 2020, in njihove
	rešitve, ki sem jih spisal sam. Naloge obsegajo snov \textit{\snovdn}in so
	iz učnega lista. Kjer je bilo potrebno izbrati neke poljubne naloge,
	sem jih vedno izbral naključno.
\end{abstract}
\tableofcontents

\section{Učni list \textit{\snovdn}: Naloge 1 do 12}
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] % 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
	\item \begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
		\item Na premici $p$ leži točka $T$. Opiši množico vseh tistih točk na premici, ki so od $T$ oddaljene za 3 dolžinske enote.
		$$m=(X; d(T,X) = 3 \wedge X \in p)$$
		\item Izmeri daljici $AB$ in $CD$ in načrtaj daljico $EF$, za katero velja:
		\begin{enumerate}[label=\textbf{b\arabic*)}]
			\begin{multicols}{2}
			\item $|EF|=|AB|+|CD|$
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzDefPoint(0,0){A}
						\tkzDefPoint(1,0){B}
						\tkzDefPoint(1,0){C}
						\tkzDefPoint(2,0){D}
						\tkzDefPoint(0,0){E}
						\tkzDefPoint(2,0){F}
						\tkzDrawPoints(A,B,C,D,E,F)
						\tkzLabelPoints[above right](A,B,D)
						\tkzLabelPoints[below left](E,F,C)
						\tkzDrawLine(C,D)
						\tkzDrawLine(A,B)
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
			\item $|EF|=2|AB|+|CD|$
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzDefPoint(0,0){A}
						\tkzDefPoint(1,0){B}
						\tkzDefPoint(1,0){C}
						\tkzDefPoint(2,0){D}
						\tkzDefPoint(-1,0){E}
						\tkzDefPoint(2,0){F}
						\tkzDrawPoints(A,B,C,D,E,F)
						\tkzLabelPoints[above right](A,B,D)
						\tkzLabelPoints[below left](E,F,C)
						\tkzDrawLine(E,F)
						\tkzCompass(B,E)
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
			\end{multicols}
		\end{enumerate}

	\end{enumerate}

	\item Naslednje kote zapiši s stopinjami, minutami in sekundami.
		\begin{multicols}{2}
			\begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
				\item $\alpha=\ang{23.58}=\ang{23}0,58\cdot60'=\ang{23}34'0,8\cdot60''=
				\mathbf{\ang{23}34'48''}$
				\item $\beta=\ang{78.409}=\ang{78}0,409\cdot60'=
				\ang{78}24'0,54\cdot60''=\mathbf{\ang{78}24'32,4''}$
			\end{enumerate}
		\end{multicols}
	\item Naslednjim kotom izračunaj komplementarne in suplementarne kote:
		\begin{multicols}{2}
			\begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
				\item $\alpha=\ang{23}$
					\begin{center}
						$$\text{komplementarni: } \ang{90}-\ang{23}=\ang{67}$$
						$$\text{suplementarni/sokot: } \ang{180}-\ang{23}=\ang{157}$$
					\end{center}
				\item $\beta=\ang{78.49}$
					\begin{center}
						$$\text{komplementarni: } \ang{90}-\ang{78.49}=\ang{11.51}$$
						$$\text{suplementarni/sokot: } \ang{180}-\ang{78.49}=\ang{101.51}$$
					\end{center}
			\end{enumerate}
		\end{multicols}
	\item \begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
			\item Razlika dveh sokotov je \ang{23,58}. Koliko merita oba kota? Rezultata naj bosta vsaj do kotne minute natančna.
				$$\ang{23.58}=(\ang{180}-\alpha)-\alpha \rightarrow
				2\alpha=\ang{180}-\ang{23,58}\rightarrow\alpha=\frac{\ang{180}-\ang{23,58}}{2}=\ang{78.21}\rightarrow\beta=\ang{180}-\alpha=\ang{101.79}$$
			\item Razlika dveh komplementarnih kotov je $\ang{23}58'$. Koliko merita oba kota? Rezultata naj bosta vsaj do kotne minute natančna.
				$$\alpha=\frac{\ang{180}-\ang[parse-numbers=false]{23,9\overline{6}}}{2}=\ang[parse-numbers=false]{78,01\overline{6}} \rightarrow \beta=\ang{180}-\alpha=\ang{180}-\ang[parse-numbers=false]{78,01\overline{6}}=\ang[parse-numbers=false]{101,98\overline{3}}$$
			\item Vsota dveh kotov je $\ang{146}15'$, njuna razlika pa $\ang{23}38'$. Koliko merita oba kota? Rezultata naj bosta do kotne minute natančna.
				$$(\alpha-\ang[parse-numbers=false]{23,6\overline{3}})+\alpha=\ang{146,25}\rightarrow2\alpha=\ang{146,25}-\ang[parse-numbers=false]{23,6\overline{3}}\rightarrow\alpha=\frac{\ang{146,25}-\ang[parse-numbers=false]{23,6\overline{3}}}{2}=\ang[parse-numbers=false]{61,308\overline{3}}\rightarrow$$
				$$\beta=\ang{146,25}-\alpha=\ang[parse-numbers=false]{84,941\overline{6}}$$
		\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
			\item Koliko meri kot, če je petkratnik svojega komplementarnega kota?
				$$\frac{5}{6}\ang{90}=\ang{75}$$
			\item Koliko meri kot, če je šestkratnik svojega suplementarnega kota? Rezultat naj bo vsaj do kotne minute natančen.
				$$\frac{6}{7}\ang{180}=\ang[parse-numbers=false]{154.\overline{285714}}$$
			\item Od dveh sokotov je eden za $\frac{3}{7}$ pravega kota večji od drugega. Koliko meri eden in drugi? Rezultat naj bo vsaj do kotne minute natančen.
				$$(\alpha+\frac{3}{7}\ang{90})+\alpha=\ang{180}\rightarrow
				\alpha=\frac{\ang{180}-\frac{3}{7}\ang{90}}{2}=\ang[parse-numbers=false]{19,\overline{285714}}\rightarrow\beta=\ang{180}-\alpha=\ang{180}-\ang[parse-numbers=false]{19,\overline{285714}}=\ang[parse-numbers=false]{160,\overline{7142857}}$$
			\item Eden od dveh komplementarnih kotov je 4-kratnik drugega. Koliko meri eden in drugi?
				\begin{multicols}{2}
					$$\alpha=\frac{4}{5}\ang{90}=\ang{72}$$

					$$\beta=\frac{1}{5}\ang{90}=\ang{18}$$
				\end{multicols}
			\item Kolikšna je vsota sokotov dveh komplementarnih kotov?
				$$\ang{90}$$
			\item Poišči tak par suplementarnih kotov, katerih razlika je pravi kot.
				$$(\alpha+\ang{90})+\alpha=\ang{180}\rightarrow\alpha=\frac{\ang{180}-\ang{90}}{2}=\ang{45}\rightarrow\beta=\ang{180}-\alpha=\ang{180}-\ang{45}=\ang{135}$$
			\item Kota $\alpha=3x$ in $\beta=x+\ang{20}$ sta komplementarna. Poišči ju.
				$$3x+x+\ang{20}=\ang{90}=4x+\ang{20}\rightarrow x=\frac{\ang{90}-\ang{20}}{4}=\ang{17.5}\rightarrow\alpha=3x=\ang{52.5}\wedge\beta=x+\ang{20}=\ang{37.5}$$
		\end{enumerate}
	\iffalse % nedokončano ˇˇˇ
		\item \begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
				\item Dve premici se sekata. Dokaži, da oba para nesosednjih kotov merita enako.
					\begin{center}
						trenutno mi ne kane na misel ...
					\end{center}
				\item Tri premice se sekajo v skupni točki. Dokaži, da je vsota treh nesosednjih kotov enaka \ang{180}.
					\begin{center}
						tudi tole ne ...
					\end{center}
				\item Skozi vrh pravega kota potegnem premico tako, da dobimo štiri kote. Pokaži, da je razlika dveh nesosednjih kotov enaka \ang{90}.
					\begin{center}
						jutri dalje, prepozno je, da bi moji možgani uporabno funkcionirali ...
					\end{center}
			\end{enumerate}
		\item Konstruiraj, kjer je to mogoče, trikotnik s podatki:
			\begin{multicols}{2}
				\begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
					\item $a=\SI{7}{\centi\meter}, b=\SI{4}{\centi\meter}, c=\SI{5}{\centi\meter}$
					\item $a=\SI{7}{\centi\meter}, b=\SI{4}{\centi\meter}, c=\SI{8}{\centi\meter}$
					\item $a=\SI{7}{\centi\meter}, b=\SI{4}{\centi\meter}, c=\SI{13}{\centi\meter}$
					\item $a=\SI{7}{\centi\meter}, b=\SI{4}{\centi\meter}, c=\SI{2}{\centi\meter}$
					\item $a=\SI{15}{\centi\meter}, b=\SI{8}{\centi\meter}, c=\SI{23}{\centi\meter}$
					\item $a=\SI{14}{\centi\meter}, b=\SI{8}{\centi\meter}, c=\SI{23}{\centi\meter}$
				\end{enumerate}
			\end{multicols}
		\item \begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
				\item Točki $A$ in $B$ sta oddaljeni 5. Ali obstaja točka, ki je od $A$ oddaljena 12, od $B$ pa 6?
				\item Točki $A$ in $B$ na ravnini sta oddaljeni za 5. Opiši, kje leži točka $C$, ki je od točke $A$ oddaljena 3, hkrati pa najbližja točki $B$.
			\end{enumerate}
		\item Ali obstajajo trikotniki z naslednjimi dolžinami stranic?
			\begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
				\item $a=\SI{8}{\centi\meter}, b=\SI{5}{\centi\meter}, c=\SI{14}{\centi\meter}$
				\item $a=\SI{8}{\centi\meter}, b=\SI{15}{\centi\meter}, c=\SI{32}{\centi\meter}$
			\end{enumerate}
		\item \begin{enumerate}[label=\textbf{\xslalph*)}]
				\item Palico prelomiš na tri dele tako, da je vsak naslednji del polovico krajši od prejšnjega. Ali lahko iz teh treh delov sestaviš trikotnik?
				\item[\textbf{* b)}] Palico prelomiš na tri dele tako, da je vsak naslednji del za desetino dolžine celotne palice krajši od prejšnjega. Ali lahko iz teh treh delov sestaviš trikotnik?
			\end{enumerate}
		\item[\textbf{* 11.}] Naj bo $D$ poljubno izbrana točka na stranici $BC$ trikotnika $\bigtriangleup ABC$. Dokaži:
			$$d(A,D)+d(D,B)\leq d(A,C) + d(C,B)$$
		\setcounter{enumi}{11}
		\item Če se komu zdi, da je v matematiki odveč zahtevati komutativnost razdalje med točkama $(d(A,B)=d(B,A))$, ker da je to pač \textit{"samo po sebi umevno"}, naj pomisli: Dostikrat merimo ratdaljo dveh krajev A in B s časom, ki ga potrebujemo, da pridemo iz enega kraja v drugi kraj. In če je, denimo, kraj A v dolini, kraj B pa vrh gore, je zagotovo:
		$$d(A,B)\not=d(B,A)$$
	\fi % ^^^ nedokončano
\end{enumerate}

\section{Zaključek}
Ta dokument je informativne narave in se lahko še spreminja. Najnovejša različica, torej PDFji in
\hologo{LaTeX}
izvorna koda, zgodovina sprememb in prejšnje različice, je na voljo mojem šolskem Git repozitoriju na
\url{https://github.com/sijanec/sola-gimb-2} v mapi 
\href{https://github.com/sijanec/sola-gimb-2/tree/master/mat/domace_naloge/\stevilkadn/}{/mat/domace\_naloge/\stevilkadn/}. Povezava za ogled zadnje različice tega dokumenta v PDF obliki je  \url{http://razor.arnes.si/~asija3/files/sola/gimb/2/mat/domace_naloge/\stevilkadn/dokument.pdf} in/ali \url{https://github.com/sijanec/sola-gimb-2/raw/master/mat/domace_naloge/\stevilkadn/dokument.pdf}.

\if\razhroscevanje1
\section{Razhroščevalne informacije}
Te informacije so generirane, ker je omogočeno razhroščevanje. Prej objavo dokumenta izklopite razhroščevanje. To naredite tako, da nastavite ukaz \texttt{razhroscevanje} na 0 v začetku dokumenta.

Grafi imajo natančnost \functionSamples\space točk na graf.

Konec generiranja dokumenta: \input|"date -Ins"
\fi
%	\item $$$$
\end{document}